Symmetri i elliptiske kurver
Kontrollert matematisk studie · kjent teori, ingen ny kryptografisk snarvei
Vi undersøker om seks relaterte kurvepunkter kan behandles som ett matematisk objekt. Testen verifiserer symmetrier på ni forskningskurver og måler idealisert kollisjonssannsynlighet. Den finner ikke private nøkler til virkelige adresser.
Hva ble faktisk bevist?
På kurver av formen y²=x³+b med en primtallsorden n, gir multiplikasjon av X med en kubisk enhetsrot og fortegnsskifte av Y en gruppe på seks relaterte punkter. Vi verifiserte at disse avbildningene bevarer kurven og samsvarer med skalaroperasjoner på alle ni syntetiske grupper. En eksakt opptelling over hele 16-biterskurven bekreftet at antallet ekvivalensklasser er (n−1)/6+1.
Viktig: Dette er etablert gruppeteori og ikke en ny oppdagelse. Ekvivalensklasser reduserer ikke automatisk kjøretiden til Pollard rho: kostnaden for normalisering og risikoen for korte, ubrukelige sykluser må håndteres.
Simulert idealisert kollisjonseksperiment
Vi trekker tilfeldige, uavhengige gruppeelementer frem til første gjentakelse. I den grønne serien teller vi to elementer som like når de tilhører samme seks-punktsklasse. Dette er IKKE en virkelig Pollard rho-vandring eller et søk etter skjult nøkkel.
Måledata fra simuleringen
| Bit | Repetisjoner | Snitt uten | Snitt seksfold | Målt forhold | Teori |
|---|---|---|---|---|---|
| 16 | 300 | 281.05 | 107.99 | 2.6025 | 2.4495 |
| 20 | 300 | 1076.76 | 438.63 | 2.4548 | 2.4495 |
| 24 | 300 | 4484.53 | 1837.37 | 2.4407 | 2.4495 |
Forventningen for idealisert prøveantall er omtrent √(πn/2) uten symmetri og √(πn/12) med seksfold symmetri. Antall grupper og punktoperasjoner i en reell ECDLP-løser kan være annerledes.
Kurveverifikasjon
Alle ni testkurver har verifisert primtallsorden, og de seks symmetriene er verifisert på tilfeldig valgte punkter. Fullstendig orbit-opptelling er utført for 16 bit; resten er basert på algebraisk gruppestruktur samt stikkprøvetester.
| Bit | Gruppeorden | Forventede klasser | Test |
|---|---|---|---|
| 16 | 48,799 | 8,134 | PASS |
| 20 | 784,897 | 130,817 | PASS |
| 24 | 12,587,563 | 2,097,928 | PASS |
| 28 | 201,298,843 | 33,549,808 | PASS |
| 32 | 3,221,180,089 | 536,863,349 | PASS |
| 36 | 51,539,513,437 | 8,589,918,907 | PASS |
| 40 | 824,635,470,601 | 137,439,245,101 | PASS |
| 44 | 13,194,144,388,501 | 2,199,024,064,751 | PASS |
| 48 | 211,106,205,190,693 | 35,184,367,531,783 | PASS |
Forskningsmessig konklusjon
Dette demonstrerer ingen ny løsning på elliptisk kurve-diskret logaritme. En reell algoritme må måles på blinde testnøkler, vise verdi utover eksisterende automorfimetoder og inkludere hele tids- og minnekostnaden. Selv en konstantfaktorforbedring på omtrent 2,45× ville ikke gjøre 256-biters Ethereum-nøkler praktisk mulig å finne.
Det er dokumentert i kryptografilitteraturen at naiv symmetri-normalisering kan skape fruktløse sykluser. Denne demoen er bevisst begrenset til korrekt algebra og idealiserte kollisjoner.
Reproduser resultater
Python-kildeResultater (JSON)Standardbiblioteket i Python. Fra denne katalogen: python3 symmetry_experiment.py --seed 20261022 --repeats 300. Krever referansefilen i ../research-v2/benchmark_reference.py.